Himpunan dan Bilangan serta Fungsi dan Relasi

1. Himpunan dan Bilangan

    Himpunan adalah kumpulan objek-pbjek ( benda real atau abstrak) yang didefinisikan dengan jelas.
    Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan huruf kapital seperti A, B, C, dst.
     Contohnya : 1 Kumpulan mahasiswa jurusan Psikologi Universitas Gunadarma
                       2 Kumpulan siswa dan siswi Sekolah Dasar Isola.
                       3 Kumpulan mahasiswa Universitas gunadarma yang berumur kurang dari 16 tahun.
   Macam-macam Himpunan :

     Himpunan berhingga ( finite set ) yaitu himpunan yang jumlah elemennya berhingga. Contoh :

A = { x ê x  adalah 3 bilangan  ganjil pertama } = { 1, 3, 5 }

B = { x ê 5 < x < 15 ,  x = bilangan genap } =  { 6, 8, 10, 12, 14 }  

        2.    Himpunan tak berhingga ( infinite set ), yaitu himpunan yang jumlah elemennya tidak berhingga.

Contoh :

A = { x ç x  adalah bilangan genap >  2 } = { 4, 6, 8, 12, 14, ……… }  

B = { x ç x  adalah bilangan asli > 5 } = { 6, 7, 8, 9, 10, ……..…… }  

         3.    Himpunan kosong ( void set ), yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen.

Contoh :

E = { x ê x2 = 16 , x  adalah ganjil } = {     }   atau   f

      4.    Himpunan sama, yaitu himpunan yang memiliki elemen-elemen yang sama, walaupun urutannya berbeda.

Contoh :

Jika A = { 2, 3, 4, 5  } dan B = { 4, 2, 3, 5} maka  A = B

       5.    Himpunan Ekivalen ( kesamaan 2 himpunan ), yaitu himpunan yang memiliki  jumlah elemen/kardinalitas yang sama.

Contoh :

Jika A  =  { 2, 3, 1, 19, 5} dan B = { i, q, b, a, l } maka  A ~ B karena n(A) = n(B) = 5     

         6.    Himpunan Bagian (subset), yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada himpunan yang lain.

Contoh :

Jika A  =  { 3, 4, 5, 6 } dan B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } maka  A Ì B  ( A subset dari B ), sedangkan  B É A  ( B superset dari A) karena B mengandung semua elemen dari A.

Himpunan saling lepas / asing / disjoint, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berbeda.

Contoh :

Jika A  = { 6, 7, 8, 9  } dan B = { 16, 17, 18, 19 } maka  A  | |  B

Himpunan Semesta ( Universal set ), yaitu himpunan yang mencakup semua himpunan yang sedang dibicarakan.

Contoh :

Jika A  =  {1, 2, 3, 4 } , B = {5, 6, 7, 8} dan  C = { 9, 10, 11, 12,}

maka himpunan semestanya N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,}

        9.    Himpunan Komplemen, yaitu himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya.

Contoh :

Jika A = { bilangan bulat positif}, B  =  {1, 2, 3, 4, 5 } dan

C = {1, 2, 3,...} maka himpunan komplemen dari C adalah Cc = {4, 5, 6 ...} dan himpunan komplemen dari B adalah Bc =  { 6, 7, 8 … }

     10. Himpunan Keluarga / Set of  Set, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa himpunan.

Contoh :

     A  =  {{2,4}, {1,5}, {2,6,7}} ……..  Û Himpunan keluarga

     B  =  {{2,4},  1, 5 , {2,6,7}} ……… Û Bukan Himpunan Keluarga

       11.  Himpunan Power Set / Kuasa, yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan subset dari himpunan yang bersangkutan

     Jika jumlah subset dari sebuah himpunan dengan n elemen = 2n maka jumlah elemen himpunan kuasa juga sama dengan 2n.

     Contoh :

     A =  { 2, 4 } maka himpunan bagiannya ada 22 = 4, yaitu :

{ 2  }  Ì  {2, 4}, { 4  }  Ì  {2, 4}, {2, 4}  Ì  {2, 4,}, {   }  Ì  {2, 4} maka himpunan kuasa A = {2,4}  adalah {{2},{4},{2,4},{  }}

 


   DIAGRAM VENN
 
   Diagram veen atau biasa disebut juga dengan diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua
   kemungkinan hubungan logika dan hipotesis diantara sekelompok benda atau objek. sebagai bagian dari
   ilmu matematika, diagram venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn untuk
   menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik dibidang logika, probabilitas, statisyik, linguistik, dan
   ilmu komputer.
   Contoh diagram venn :

   Hubungan antara himpunan dengan diagram venn ;
   Himpunan dan diagram venn saling berhubungan karena himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram
   venn.
   Contoh :
   Suatu soal himpunan yang diselesaikan dengan menggunakan diagram venn.

   Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa. Mereka memilih dua jenis olahraga yang mereka gemari. Ternyata
   29 siswa gemar bermain basket, 27 siswa gemar bermain voli, dan 6 siswa tidak menggemari kedua
   olahraga tersebut. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut dan tentukan banyaknya siswa yang
   gemar bermain basket dan voli. Penyelesaiannya: Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut dapat
   diperoleh jika banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli diketahui, maka cari terlebih dahulu
   banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli:
   n{AΛB} = (n{A} + n{B}) – (n{S} – n{X})
   n{AΛB} = (29 + 27) – (48 – 6)
   n{AΛB} = 14 Siswa yang memilih basket saja = 29 – 14 = 15 orang
   Siswa yang memilih voli saja = 27 – 14 = 13 orang Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut adalah

Banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli ada 14 orang.


 2. Fungsi dan Relasi

     FUNGSI
     Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai
     domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda
     pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.”
     Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi",
    "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

    Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya

    yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan

    kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan

    riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Sifat Fungsi :

1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.

2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.

3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.

4) Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)

Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU.

Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.

Jenis-Jenis Fungsi

Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :

A). Fungsi Konstan

Suatu fungsi f : A?B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

B). Fungsi Identitas

Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.

C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak

Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.

D). Fungsi Linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

E). Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ? 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

F). Fungsi Tangga (Bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

G). Fungsi Modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.


Fungsi Invers

Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan

tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.

Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif

atau dalam korespondensi satu-satu.

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara

berikut ini.

a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.

b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).

c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).

Aljabar Fungsi

a. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) (x) = f(x) + g(x).

b. Pengurangan f dan g didefinisikan (f – g)(x) = f(x) – g(x).

c. Perkalian f dan g didefinisikan (f +g)(x) = f(x) + g(x).

Fungsi Komposisi

Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi  

  RELASI

 
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.


Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:

1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

2. Dengan Diagram Panah

3. Dengan Diagram Cartesius

4. Dengan Rumus


1. Himpunan Pasangan Berurutan.

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.


2. Diagram Panah

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:

1.Membuat dua lingkaran atau ellips

2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B

3. x dan y dihubungkan dengan anak panah

4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi

5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

3. Diagram Cartesius

Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.

1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar

2. y=B diletakkan pada sumbu tegak

3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)

4. Dengan Rumus

f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}

Perbedaan Fungsi  dan Relasi :
Relasi adalah : hubungan antara anggota suatu himpunan (domain) dengan himpunan lainnya ( kodomain)
Fungsi adalah relasi khusus yg memasangkan setiap anggota himpunan (domain) dengan tepat satu anggota ke himpunan lainnya ( kodomain)
Fungsi disebut juga pemetaan.

DOMAIN, KODOMAIN, dan RANGE

- Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

- Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

- Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 } 

SOAL-SOAL FUNGSI dan RELASI

1.     Diketahui fungsi ƒ :   dan fungsi ƒ ditentukan dengan rumus ƒ(x) = x2 + 1. Jika ƒ(a) = 10, hitunglah nilai a yang mungkin. a.       a = 3 atau a = -3 

b.      a = -3 atau a = 3 

c.       a = -3 atau a = -3  

d.      a = 3 atau a = 3 
Jawaban :  

Untuk x = a, maka ƒ(a) = (a)2 + 1 = a2 + 1. Karena diketahui ƒ(a) = 10, maka diperoleh hubungan : a2 + 1 = 10 a2 – 9 = 0 (a + 3)(a – 3) = 0 a = -3 atau a = 3 jadi ƒ(a) = 10 untuk nilai-nilai a = -3 atau a = 3. Jadi jawabannya b. a = -3 atau a = 3  

2. Diketahui pernyataan : 

1.      Jika hari panas, maka Ani memakai topi. 

2.      Ani tidak memakai topi atau ia memakai paying.  

3.      Ani tidak memakai paying.  

Kesimpulan yang sah adalah ….. 

a.       Hari panas.  

b.      Hari tidak panas  

c.       Ani memakai topi. 

d.      Hari panas dan Ani memakai topi. Jawaban: 

P = hari panas q = Ani pakai topi r = Ani pakai paying p  menjadi  q ~q υ r ~r Kesimpulan : ~p . Jadi jawabannya b. Hari tidak panas.

3. Misalkan A = {1,2,3,4,5,6,7} dan B = { 4,5,6,7,8,9} , dan relasi R dari A ke B diberikan oleh R = {(1,5), (4,5), (1,4), (4,6), (3,7), (7,6) } 

Carilah domain dan range !!

sumber :
http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29
http://brainly.co.id/tugas/63650